§4.1  不定积分的概念与性质

一、原函数的概念

【定义】已知是一个定义在区间内的函数,如果存在着函数, 使得对内任何一点,都有

        

那么函数就称为在区间内的原函数

例如:在区间上的原函数。

对于原函数,我们很自然地会提出如下几个问题:

【问题一】具备什么条件,就能保证它的原函数一定存在?

【问题二】若有原函数,那么它的原函数会有多少个?

【问题三】若的原函数不止一个,是否可给出它的原函数的通式?

问题将在下一章中讨论,这里我们仅给出它的结论。

【原函数存在定理】

如果函数在区间内连续,那未在区间内它的原函数一定存在,即:存在,对一切的,均有

简言之:连续函数一定有原函数。

在区间内的一个原函数,即

那么对于任意常数,由于 ,于是,函数族中的任何一个函数也一定是在区间内的原函数。由此可知:

如果有原函数,那么原函数的个数为无限多个。

问题三可由下述结论来解决

【结论】定义在区间上,如果上的一个原函数,那未函数族    (是任意常数) 在区间上的所有原函数全体。

证明:上的另一个不同于的原函数,

 

  ( 是某一常数 )

这表明: 

因此,上的全体原函数。

二、不定积分概念

【定义】在区间内,函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分, 记作 

其中:称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量。

由前面的讨论,如果在区间内的一个原函数,那么表达式就是上的不定积分,即

【例1】求 

解:  所以  的一个原函数,

因此   (  任意常数 )

2设曲线通过点(12),且其上任一点处的切线斜率等于这点的横坐标的两倍,求此曲线的方程。

解:设所求曲线方程为,按题设, 曲线上任一点处的切线斜率为,这表明: 的一个原函数。

由于 , 所求曲线应是该曲线族中的一条,由于所求曲线过点(12),故:

于是, 所求曲线为

曲线族中任意常数的几何意义( 运行程序gs0401.m )

的图形可由抛物线沿轴方向移动距离得到。

时, 图形向上移;  时,图形向下移。

由此例,我们可将原函数,不定积分这些概念用几何术语来加以描述。

1、函数的一个原函数的图形叫做函数的一条积分曲线, 其方程为   

2、不定积分的图形叫做函数的积分曲线族, 它们的方程为

3、由可知:

积分曲线族上横坐标相同的点处作切线,这些切线彼此平行。

由不定积分的定义,有如下关系式:

    

   

由此可见,微分运算 (记号为) 与不定积分运算 (记号为)是互逆的。当记号合在一起时,或者抵消,或者抵消后差一个常数。

三、基本积分表

由于不定积分运算与微分运算是互逆的, 那么,我们可由基本初等函数的微分公式给出基本不定积分公式。

例如: 

时,    

 

基本不定积分公式, 同学们可自行给出, 这里不再赘述。

四、不定积分的性质与举例

【性质一】函数之和的不定积分等于各个函数的不定积分之和, 即

【性质二】求不定积分时,  被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号的外面来,即

    ( 为非零常数 )

这两个性质极易证明,只需对等式两边求导,比较两边是否相等即可。

利用不定积分的两个性质与基本的不定积分公式,我们可求一些简单函数的不定积分。

【例3】求

 

【例4】求

 

【例5】求

 

【例6】求

 

【例7】求

 

【例8】求