§4.1
不定积分的概念与性质
一、原函数的概念
【定义】已知是一个定义在区间
内的函数,如果存在着函数
, 使得对
内任何一点
,都有
或
那么函数就称为
在区间
内的原函数。
例如:是
在区间
上的原函数。
对于原函数,我们很自然地会提出如下几个问题:
【问题一】具备什么条件,就能保证它的原函数一定存在?
【问题二】若有原函数,那么它的原函数会有多少个?
【问题三】若的原函数不止一个,是否可给出它的原函数的通式?
问题一将在下一章中讨论,这里我们仅给出它的结论。
【原函数存在定理】
如果函数在区间
内连续,那未在区间
内它的原函数一定存在,即:存在
,对一切的
,均有
。
简言之:连续函数一定有原函数。
若是
在区间
内的一个原函数,即
那么对于任意常数,由于
,于是,函数族
中的任何一个函数也一定是
在区间
内的原函数。由此可知:
如果有原函数,那么原函数的个数为无限多个。
问题三可由下述结论来解决
【结论】设定义在区间
上,如果
是
在
上的一个原函数,那未函数族
(
是任意常数) 是
在区间
上的所有原函数全体。
证明: 设是
在
上的另一个不同于
的原函数,
则 ,
(
是某一常数 )
即
。
这表明:
因此,是
在
上的全体原函数。
二、不定积分概念
【定义】在区间内,函数
的带有任意常数项的原函数称为
在区间
内的不定积分, 记作
其中:称为积分号,
称为被积函数,
称为被积表达式,
称为积分变量。
由前面的讨论,如果是
在区间
内的一个原函数,那么表达式
就是
在
上的不定积分,即
【例1】求
解:, 所以
是
的一个原函数,
因此 (
任意常数 )
【例2】设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点的横坐标的两倍,求此曲线的方程。
解:设所求曲线方程为,按题设, 曲线上任一点
处的切线斜率为
,这表明:
是
的一个原函数。
由于
, 所求曲线
应是该曲线族
中的一条,由于所求曲线过点(1,2),故:
,
。
于是,
所求曲线为 。
曲线族中任意常数
的几何意义( 运行程序gs0401.m
):
的图形可由抛物线
沿
轴方向移动距离
得到。
当时, 图形向上移; 当
时,图形向下移。
由此例,我们可将原函数,不定积分这些概念用几何术语来加以描述。
1、函数的一个原函数
的图形叫做函数的一条积分曲线, 其方程为
2、不定积分的图形叫做函数的积分曲线族, 它们的方程为
。
3、由可知:
在积分曲线族上横坐标相同的点处作切线,这些切线彼此平行。
由不定积分的定义,有如下关系式:
或
或
由此可见,微分运算 (记号为) 与不定积分运算 (记号为
)是互逆的。当记号合在一起时,或者抵消,或者抵消后差一个常数。
三、基本积分表
由于不定积分运算与微分运算是互逆的, 那么,我们可由基本初等函数的微分公式给出基本不定积分公式。
例如: ,
当时, 由
有
基本不定积分公式, 同学们可自行给出, 这里不再赘述。
四、不定积分的性质与举例
【性质一】函数之和的不定积分等于各个函数的不定积分之和,
即
【性质二】求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号的外面来,即
(
为非零常数 )
这两个性质极易证明,只需对等式两边求导,比较两边是否相等即可。
利用不定积分的两个性质与基本的不定积分公式,我们可求一些简单函数的不定积分。
【例3】求
【例4】求
【例5】求
【例6】求
【例7】求
【例8】求